배움기록 210427

오늘 강의의 타이틀은 미적분이다. 소제목에는 행렬연산, 좌표계 변환, 선형 변환 같은게 있는데 어떻게 미적분이랑 연결될 지 두렵다.

 

행렬연산과 선형조합

행렬과 벡터의 표기법이 먼저 나왔다.

영행렬, 정방행렬, 항등행렬

행렬곱

행렬 곱은 병렬처리로 가속할 수 있다?

 

스칼라 -> 벡터 -> 행렬 -> 텐서

텐서는 스칼라, 벡터, 행렬을 아우르는 개념으로, 숫자가 늘어설 수 있는 방향이 k개이면 k-텐서라 한다.

0-텐서: 스칼라

1-텐서: 벡터

2-텐서: 행렬

 

 

• 분할행렬

추상적 구조로 행렬, 행렬연산을 파악할 때 좋은 구조

행렬을 조각 단위로 분할해서 생각하는 것

분할행렬, 블록행렬이라고 한다.

 

행렬을 열벡터의 모임이나 행벡터의 모임으로 보는 구조가 앞으로 강의에서 자주 나온다.

열벡터의 모임으로 보는 것이 더 많이 쓰인다.

행렬곱을 벡터의 모임과 행렬의 곱으로 볼 수 있게 된다.

 

• 선형조합

$Ax$는 $A$의 열벡터에 대한 선형조합이다?

행렬을 열벡터의 리스트로 생각한다.

$m \times n$ 행렬은 $m$차원 벡터가 $n$개가 있는 것이 된다.

 

행렬 A의 열벡터들에 대한 가능한 모든 선형조합의 결과를 집합으로 구성할 수 있게 된다.

이 집합을 column space(열공간)이라 하고 $col(A)$라 나타낸다.

 

선형 시스템 $Ax = b$가 해를 가지면(consistent) $b \in col(A)$

아니면 반대

 

좌표계 변환

행렬과 벡터의 곱이 좌표계와 좌표값이다를 배우는 시간

$Ax = b$에서

$b$ 앞에는 표준 좌표계(항등행렬)이 숨어있다.

기저 벡터와 좌표계 변환이다...

글로 적기가 힘드네

여기에서 같은 내용을 배웠었다.

 

행렬은 좌표계이고 벡터는 좌표값이다.

어떤 벡터가 새로운 좌표계에서 어떻게 표현될 지 구하는 것은 결국 저번에 배웠던 선형시스템의 해를 구하는 것과 같게 된다.

 

선형 변환

행렬은 일종의 함수다(선형 함수)? 벡터 -> 벡터 함수

 

• 함수 복습

함수는 domain(정의역)의 각 원소가 codomain(공역)의 한 원소에 대응되는 매핑 룰이다.

 

• 선형 함수(linear function)

$f(x + y) = f(x) + f(y)$

$f(cx) = cf(x)$

를 만족하는 함수

 

• 선형 변환

입력이 $n$-벡터고 출력이 $m$-벡터인 함수 $T$를 변환(transformation)이라 한다.

\[T : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\]

$n = m$ 인 경우 이 변환을 연산자(operator)라 한다.

 

$m \times n$ 행렬 $A$에 대해 $Ax$는 $n$-벡터를 입력으로 받아 $m$-벡터를 출력으로 내는 변환

 

-> 행렬은 선형변환이고 선형변환은 행렬이다.

 

• 표준 행렬 구성하기

내가 원하는 대로 동작하는 행렬 변환 $T_{A} : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 코딩하기

 

$n$-차원 표준 기저벡터에 대해

각 벡터가 내가 원하는 변환을 거친 뒤 어떻게 되는지를 차례차례 적으면 끝