배움기록 210426

 

인공지능 수학 - 선형대수

 

주피터 노트북 설치하기 & Numpy 설치하기 실습

그만큼 예전에 잘 배웠다는 뜻이겠지~

마크다운은 자주 안써서 그런가 머리속에 안남는다.

 

 

선형시스템

연립 일차방정식이 사실 선형시스템이었다고 한다.

사실 내가 이미 선형시스템과 이를 푸는 소거법의 기초를 배웠다는 사실을 알려주시며 강의가 시작.

 

n개의 linear equations와 m개의 unknowns로 구성된 연립 일차 방정식을 n x m linear system이라 한다.

n = 식의 개수, m = 미지수의 개수

 

• 선형 시스템의 대수적 표현

= 식을 행렬들로 표현한다.

그런데 이 부분 연습이 강의의 뒷부분 절반을 차지하고 있다.

 

• 선형 시스템 실습

넘파이를 거의 안써봤으니

넘파이에는 내가 모르는 게 너무 많다

 

가우스 소거법

• 선형 시스템의 해

연립 방정식의 해 구하기

해가 하나인 경우, 해가 없는 경우, 해가 무한한 경우로 나뉜다.

 

A의 역행렬이 존재하지 않는 경우, A가 특이(singular)하다고 한다.

해가 있는 경우 = consistent

해가 없는 경우 = inconsistent

라고 한다.

 

• 가우스 소거법

전방소거법, 후방대입법

음... 변수선택법....

 

선형시스템을 아래로 갈 수록 단순한 형태가 되도록 변형시키는 것이 전방 소거법

마지막 행은 매우 단순한 방정식이 되게 된다.

 

EROs (기본행연산)

치환 : 두 행을 선택하여 한 행에 가중치를 곱해 뺀다.

교환 : 두 행의 위치를 바꾼다.

스케일링 : n배 한다.

 

기존에 배웠던 연립방정식 푸는 법을 공식화 한 것이다.

전방소거법으로 행렬의 랭크와 해의 유무를 알아낼 수 있다.

 

LU 분해

가우스 분해법을 행렬의 결과로 나타내는 방식

행렬을 아래쪽이 두꺼운 삼각형 모양의 행렬(하삼각행렬)과 위쪽이 두꺼운 삼각형 모양의 행렬(상삼각행렬)로 나누는 것

 

A = LU일 때

Ax = b -> LUx = b -> L(Ux) = b

Ux = y라 하면

Ly = b

 

Ax = b라는 문제가

두 삼각행렬 L, U에 대해

선형 시스템의 해를 구하는 문제 2개로 나뉘게 된다.

 

PLU 분해?

 

LU분해가 사용되는 이유

역행렬을 이용해 직접 해를 구하는 것보다 LU분해를 이용해 해를 구하는 것이 수치적으로 더 안정적이다.

b가 자주 업데이트 되는 경우, 미리 PLU를 구해둔다면 실시간으로 x를 구할 수 있다.